Derivasjon

Derivatkalkulator

Tangentlinje

Tangentlinje til $f(x)$ i punkt $a$:
$l(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$

Integrasjon

Integratkalkulator

Buelengde og rotasjonsflater

Anta at $f$ er en kontinuerlig deriverbar funksjon på intervallet $[a, b]$. Da er lengden av grafen $y = f(x)$ fra $x = a$ til $x = b$ gitt ved:

$S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$

Formel for arealet av overflaten til en funksjon rotert om x-aksen:

$S = 2\pi \int_{a}^{b}|f(x)|\sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$

Rotert om y-aksen

$S = 2\pi \int_{a}^{b}|x|\sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$

Simpsons metods

For et bestemt integral på formelen $\int_{a}^{b}f(x)$ kan man estimere dette ved å regne ut funksjonen på en mengde, 2n punkt

Da blir estimatet $\int_{a}^{b}f(x) \approx \frac{h}{3}(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 2f(x_{n - 2}) + 4f(x_{n_1}) + f(x_n))$

Der $h = \frac{b - a}{2n}$, og $2n$ er vilkårlig avhengig av hvor nøyaktig du vil estimere.

Feilen er gitt ved $|R_{2n}| \leq \frac{(b - a)^5M_4}{180(2n)^4}$, der $M4$ er maksverdien av den fjerderiverte($f''''(x)$) i intervallet.

Eksempel

$\int_{0}^{1}x^4$

Finn estimatet med $2n = 4$, og maksimalfeil av estimatet.

Her ser vi $a = 0$, $b = 1$.

Ut av det får vi $h = \frac{b - a}{2n} = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$, som er lengden på intervallene.

Vi får da:

$\int_{0}^{1}x^4 \approx \frac{1}{4}\times\frac{1}{3}(f(0) + 4(\frac{1}{4})^4 + 2f(\frac{1}{2}) + 4f(\frac{3}{4}) + f(1))$
$= \frac{1}{12}(0^4 + 4\times(\frac{1}{4})^4 + 2\times(\frac{1}{2})^4 + 4f(\frac{3}{4}) + 1^4)$
$= \frac{1}{12}(0 + \frac{1}{64} + \frac{1}{8} + \frac{81}{64} + 1)$
$= \frac{1}{12}(\frac{154}{64})$
$= \frac{77}{384} \approx 0.2005208333$

Som er estimatet vårt med $2n = 4$ av Simpsons metode.

Maksverdien, $M_4$ av den fjerderiverte av $x^4$ er konstant 24. Og vi får da maksimalfeil,
$|R_{2n}| \leq \frac{(b - a)^5M_4}{180(2n)^4} = |R_{4}| \leq \frac{(1 - 0)^524}{180(4)^4} = \frac{24}{46080} \approx 0.0005208333$
Som var den feilen vi fikk fra fasit 0.2 i dette tilfellet

Konvergens

Dersom to rekker er konvergente så vil ikke rekken som ganger hvert ledd nødvendigvis være konvergent,
dette fordi de kan være alternerende med negativ/positiv

Differensialligninger

Dersom vi ønsker å finne en løsning av en differensialligning som oppfyller en bestemt startverdi kalles det et initialverdiproblem

Retningsfelt for differensialligninger

Uegentlig integraler

Type 1: Bestemte integraler som går fra eller til uendelig

Type 2: Bestemte integraler som har et udefinert punkt i intervallet, f.eks $\int_{0}^{1} \frac{1}{x}$

$\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{T \to \infty} \int_{a}^{T} f(x)dx$

$\int_{-\infty}^{a} f(x)dx = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{a} f(x)dx$

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx + \int_{a}^{\infty} f(x)dx$

Misc

Dersom $lim_{x \to c} f'(x)$ ikke eksisterer så kan fortsatt $f(x)$ være deriverbar i $c$. F.eks. ved skviseteoremet

Dersom $f'(a)$ eksisterer så er $f(x)$ kontinuerlig i $x = a$

$f(a + x) + f(a - x) = 2f(a)$

Derivatet av f.eks. $sin(x)$ med $x$ angitt i grader gir $\frac{\pi}{180}cos(x)$

Skviseteoremet

Anta at $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ holder i en omegn rundt et tall $a$, bortsett fra muligens i $a$ selv, og at
$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$
Da vil også $\lim_{x \to a} g(x) = L$

Kvadratformelen

$ax^2 + bx + c = 0$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

“Perfect squares”

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$